Volo aereo non effettuato

Lo scorso mese dopo aver prenotato on line due biglietti aerei roma saigon e ritorno con Thai, alla partenza mi hanno rifiutato l'imbarco perchè sostengono che il nome e cognome sui biglietti erano invertiti ( cioè nome al posto del cognome). Inoltre sostengono che l'errore è stato il mio al momento della
prenotazione on line che agisce senza operatore automaticamente.
Ho dei dubbi in quanto il sito per la prenotazione richiede i dati in italiano e quindi mi pare impossibile che abbia sbagliato. Inoltre sulla mail di conferma della prenotazione risulta il mio nome in maniera corretta e cioè "cognome e poi nome" mentre sul biglietto aereo appare prima il nome e poi il cognome.
credo che abbiano in qualche modo fatto loro l'errore ma come posso dimostrarlo? Ho dovuto acquistare due altri biglietti con un'altra compagnia, per partire, a prezzo molto più alto. La Thai mi ha rimborsato solo le tasse aeroportuali. La ringrazio per una risposta
Vittori, da Monteriggioni (SI)